P1463 [POI2002][HAOI2007]反素数

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闲扯

蒟蒻开始学数学了。。。

我之前可能学了一个假的数学

题面

题面

Solution

  • 引理 $1$ ：

​ 最大的反素数就是 $1\dots N$ 中约数个数最大的数中最小的数。

证明：

​ 设 $m$ 为 $1\cdots N$ 中约数个数最多的数中最小的一个。根据 $m$ 的定义，显然满足：

  1. $\forall x<m，g_x<g_m$

  2. $\forall x>m，g_x\leq g_m$

    根据反素数的定义，第一条性质说明 $m$ 是反素数，第二条性质说明大于 $m$ 的数都不是反素数，故 $m$ 即为所求。

  • 引理 $2$ ：

​ $1\dots N$ 中任意数的不同质因子都不会超过 $10$ 个，且所有质因子的指数总和不超过 $30$ 。

证明：

​ 最小的 $11$ 个质数的乘积大于 $210^9$ ，所以 $N<210^9$ 不可能有多于 $10$ 个不同的质因子。

​ 因为即使只包含最小的质数，仍然有 $2^{31}>210^9$ ，所以 $N<210^9$ 的质因子指数总和不可能超过 $30$ 。

  • 引理 $3$ ：

    $\forall x\in[1,N]$ ，$x$ 为反素数的必要条件是： $x$ 分解质因数后可写作 $2^{c_1}3^{c_2}5^{c_3}7^{c_4}11^{c_5}13^{c_6}17^{c_7}19^{c_8}23^{c_9}*29^{c_{10}}$ ，并且 $c_1\geq c_2\geq \cdots \geq c_{10}\geq 0$ 。

证明：

​ 因为约数的指数总和确定，而且要最小。如果指数不是单调递减，我们一定可以通过交换指数的方式，构造出一个约数个数不变，且值更小的数，显然不符合定义。

综上所述，我们可以用 $DFS$ 确定每一个质因子的指数，并满足上述所有条件，然后依次更新答案即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il print(T x){
	if(x/10) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(res*bas)%mod;
		bas=(bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
int T,n,m,ans,cnt,prime[15]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
il DFS(int pos,int pre,int res,int num){
	if(pos==11){
		if(num>cnt) cnt=num,ans=res;
		else if(num==cnt) ans=min(ans,res);
		return ;
	}
	for(ri i=pre;i>=0;--i){
		if(pow(prime[pos],i)>n) continue;
		if(pow(prime[pos],i)>n/res) continue;
		DFS(pos+1,i,res*pow(prime[pos],i),num*(i+1));
	}
}
int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n);
	DFS(1,30,1,1);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

总结

我果然好菜啊。。

这些题要抓住问题的特点进行分析，来逐渐地缩小范围或者找出正解的方法。

$ps:$ 以上题解所有内容均来自李煜东的《算法竞赛进阶指南》蒟蒻太弱了，只能抄书